jueves, 11 de abril de 2013

Funciones trigonométricas inversas


Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:
  • Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.
La función arcoseno real es una función \left[-1,1\right] \to \left[0,2\pi \right)\,, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:
\mbox{arcsin}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} & x = -1 \\
x + \cfrac{1}{2}\cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cfrac{x^5}{5} +
\cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots & -1 < x < 1\\
+\cfrac{\pi}{2} & x = 1 \end{cases}
  • Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.
Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:
\mbox{arccos}(x) = \frac{\pi}{2} - \mbox{arcsin}(x)
  • Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.
A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:
\mbox{arctan}(x) = \begin{cases} 
x - \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5} - \cfrac{x^7}{7} + \dots &  |x| < 1 \\
\pm\cfrac{\pi}{2} -\cfrac{1}{x} +\cfrac{1}{3x^3} -\cfrac{1}{5x^5}+ \dots & +\ \mbox{con}\ x \ge 1, -\ \mbox{con}\ x \le -1 \end{cases}

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